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《工程数学线性代数》前两章学习笔记

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线性代数前两章总结


## 行列式的计算

### 二阶、三阶

对角线法则。

主对角线或与主对角线平行的对角线上的元素相乘,符号为正。

副对角线或与副对角线平行的对角线上的元素相乘,符号为负。

### 全排列及逆序对数

众所周知。归并排序或者树状数组。


### n阶行列式的计算

$n^2$个数排成的n行n列的数表。


$$
D=\begin{vmatrix}
     a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1n} \\
     a_{21} & a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2n} \\
     \vdots  & \vdots& \vdots & \ddots & \vdots \\
     a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} & \cdots & a_{nn} \\
     \end{vmatrix}
$$

简记为det($a_{ij}$)。

$$D=\sum (-1)^t a_{1p_1}a_{2p_2}\cdots a_{np_n}$$
r为p序列的逆序对数。

更常见的,我们常通过行列式变换来使它变成上/下三角形行列式,它的值为对角线元素乘积。


### 排列中的元素对换
考虑元素对换后的逆序对数。

#### 定理1:一个排列中任意两元素对换,排列改变奇偶性

先考虑相邻对换:逆序对数改变1,即改变奇偶性。

考虑任意元素:若排列为$a_1\cdots a_lab_1\cdots b_mbc_1\cdots c_n$。先把b向左相邻对换m次,再把a向右相邻对换m+1次,即交换了ab的位置。
此时奇偶性改变了2m+1次,即奇偶性改变。

#### 推论:奇排列变成标准排列的对换次数是奇数,偶排列变成标准排列的对换次数为偶数

#### 定理2:n阶行列式也可定义为:
$$D=\sum (-1)^t a_{p_11}a_{p_22}\cdots a_{p_nn}$$

//即交换行列

### 行列式的性质

$$
D=\begin{vmatrix}
     a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1n} \\
     a_{21} & a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2n} \\
     \vdots  & \vdots& \vdots & \ddots & \vdots \\
     a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} & \cdots & a_{nn} \\
     \end{vmatrix},
D^T=\begin{vmatrix}
     a_{11} & a_{21} & a_{31} & \cdots & a_{n1} \\
     a_{12} & a_{22} & a_{32} & \cdots & a_{n2} \\
     \vdots  & \vdots& \vdots & \ddots & \vdots \\
     a_{1n} & a_{2n} & a_{3n} & \cdots & a_{nn} \\
     \end{vmatrix}
$$

$D^T$为$D$的**转置行列式**。即按主对角线对称。

#### 性质1:$D^T=D$
我们发现行和列的地位是相同的。
#### 性质2:互换某行/列,行列式变号
#### 推论:若某行/列元素相等,则行列式等于0
互换后,D=-D,则D=0
#### 性质3:行列式中某行/列乘k,等于k乘这个行列式
#### 推论:行列式中某行/列的公因子可以提到行列式外
#### 性质4:行列式中若两行/列成比例,则为0
#### 性质5:

$$
D=\begin{vmatrix}
     a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1i}+a_{1i}' & \cdots & a_{1n} \\
     a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2i}+a_{2i}' & \cdots & a_{2n} \\
     \vdots  & \vdots & & \vdots &  & \vdots \\
     a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{ni}+a_{ni}' & \cdots & a_{nn} \\
     \end{vmatrix}
 =\begin{vmatrix}
      a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1i} & \cdots & a_{1n} \\
      a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2i} & \cdots & a_{2n} \\
      \vdots  & \vdots & & \vdots &  & \vdots \\
      a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{ni} & \cdots & a_{nn} \\
      \end{vmatrix}
+\begin{vmatrix}
   a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1i}' & \cdots & a_{1n} \\
   a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2i}' & \cdots & a_{2n} \\
   \vdots  & \vdots & & \vdots &  & \vdots \\
   a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{ni}' & \cdots & a_{nn} \\
   \end{vmatrix}
$$

#### 性质6:把某一列/行的各元素乘k加到另一行/列上,行列式值不变


### 行列式按行/列展开

把$a_{ij}$所在的行和列抹去,剩下的n-1阶行列式称为$a_{ij}$的**余子式**。

记作$M_{ij}$

$$A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$$

$A_{ij}$称为$a_{ij}$的**代数余子式**。

$$D=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+\cdots+a_{in}A_{in}$$
或交换行列。
特别的,当某行/列中只有一个元素不为0,则
$$D=a_{ij}A_{ij}$$

重要的推论:

$$D=a_{i1}A_{j1}+a_{i2}A_{j2}+\cdots+a_{in}A_{jn}=0,i\neq j$$
证明很巧妙:把行列式按第j行展开,然后把第j行的元素用第i行的元素取代,那么行列式中有两行相等,则行列式为0。




代数余子式重要性质:
$$\sum_{k=1}^n a_{ki}A_{kj}=D\delta_{ij}=
\begin{cases}
D, & i = j \\
0, & i\neq j
\end{cases}
$$

$$
\delta_{ij}=
\begin{cases}
1, & i = j \\
0, & i\neq j
\end{cases}
$$

范德蒙德行列式:
$$
D=\begin{vmatrix}
     1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\
     x_{1} & x_{2} & x_{3} & \cdots & x_{n} \\
     x_{1}^2 & x_{2}^2 & x_{3}^2 & \cdots & x_{n}^2 \\
     \vdots  & \vdots& \vdots & \ddots & \vdots \\
     x_{1}^{n-1} & x_{2}^{n-1} & x_{3}^{n-1} & \cdots & x_{n}^{n-1} \\
     \end{vmatrix}
=\prod_{1<=j<i<=n}(x_i-x_j)
$$

### 克拉默法则

$$
\begin{cases}
a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=b_1\\
a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=b_2\\
\cdots\cdots\cdots \\
a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+\cdots+a_{nn}x_n=b_n\\
\end{cases}
$$

若$D=det(a_{ij})\neq 0$,则行列式有唯一解:
$$x_i=\frac{D_i}{D}$$
其中$D_i$为把行列式D中第i列的元素用右端的常数项代替后所得的n阶行列式。

## 矩阵及其运算

### 矩阵

若两矩阵的行数、列数相等,则他们是同型矩阵。若同型矩阵的对应元素相等,则称这两矩阵相等。

若行数=列数=n,则称之为n阶方阵。

若n阶方阵只有对角线上有元素,则称之为对角矩阵。若对角线上的元素为a数列,则记作
$$A=diag(a_1,a_2,\cdots,a_n)$$
单位矩阵用E表示。零矩阵用$O$表示

线性变换和矩阵一一对应。

### 矩阵的运算

#### 基本运算
若两矩阵同型,则矩阵加法为对应元素相加。满足交换律和结合律。

若A矩阵的列数=B矩阵的行数,则A和B可以相乘,记为A*B=C,其中
$$C_{ij}=\sum A_{ik}*B_{kj}$$
满足结合律和分配率,不满足交换律。

数与矩阵相乘,这个矩阵的每个元素都与这个数相乘。

对于两个n阶方阵A和B,若AB=BA,则称A和B是可交换的。

需要注意:
$AB=O$不能得出$A=O$或者$B=O$。$A(X-Y)=O$不能得出$X=Y$。

$(AB)^k\neq A^kB^k,(A+B)^2\neq A^2+2AB+B^2$

#### 矩阵的转置
将矩阵的行列互换。A的转置矩阵记为$A^T$。

$(AB)^T=B^TA^T$

如果n阶方阵A,满足$A=A^T$,则称之为对称矩阵。

#### 方阵的行列式

n阶方阵A构成的行列式称为方阵A的行列式,记作|A|或detA

$|A^T|=A$ //行列式性质

$|\lambda A|=\lambda^n |A|$

$|AB|=|BA|=|A||B|$

行列式|A|的各个元素的代数余子式$A_{ij}$所构成的如下矩阵
$$
A^*=\begin{pmatrix}
     A_{11} & A_{21}  & \cdots & A_{n1} \\
     A_{12} & A_{22}  & \cdots & A_{n2} \\
     \vdots  & \vdots & \ddots  & \vdots \\
     A_{1n} & A_{2n} & \cdots & A_{nn} \\
     \end{pmatrix}
$$
称为矩阵A的伴随矩阵。满足

$$AA^*=A^*A=|A|E$$

### 逆矩阵

若矩阵A可逆,则 $|A|\neq 0$。

$$A^-1}=\frac{1}{ (A|) A^*$$

性质:
$$
(\lambda A)^{-1}=\frac{1}{\lambda}A^{-1} \\
(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1} \\
(A^T)^{-1}=(A^{-1})^T \\
|A^-1} (=|A|^{-1) 
$$

对于二阶矩阵:
$$
A=\begin{pmatrix}
    a & b \\
    c & d \\
    \end{pmatrix},
A^*=\begin{pmatrix}
    d & -b \\
    -c & a \\
    \end{pmatrix}
$$

设 $\phi(A)=a_0E+a_1A+\cdots+a_mA^m$。

则 $\phi(A)$ 称为矩阵A的m次多项式。

发现对于A的两个多项式 $\phi(A)$ 和 $f(A)$ 总是可交换的,所以A的多项式可以像数字一样相乘或者分解因式。

两个定理:

$$
(i) A=P\Lambda P^{-1},则A^k=P\Lambda^k P^{-1},从而\\
\phi(A)=a_0E+a_1A+\cdots+a_mA^m=P\phi(\Lambda)P^{-1}
$$

$$
(ii) \Lambda=diag(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n),则A^k=diag(\lambda_1^k,\lambda_2^k,\cdots,\lambda_n^k),从而\\
\phi(\Lambda)=diag(\phi(\lambda_1),\phi(\lambda_2),\cdots,\phi(\lambda_n))

$$

### 矩阵分块法

直白的说,就是把矩阵的一个子矩阵当做一个元素。
分块后的矩阵的每个元素都是一个矩阵。

分块后的矩阵一样满足矩阵的基本运算。

$$
A=\begin{vmatrix}
     A_{11} & \cdots & A_{1r} \\
     \vdots  & & \vdots \\
     A_{s1} & \cdots & A_{sr} \\
     \end{vmatrix},
A^T=\begin{vmatrix}
    A_{11}^T & \cdots & A_{s1}^T \\
    \vdots  & & \vdots \\
    A_{1r}^T & \cdots & A_{sr}^T \\
    \end{vmatrix}
$$

分块对角矩阵:分块后的矩阵只有对角线上有非零子块,其余都是零矩阵。且在对角线上的子块都是方阵。
即
$$
A=\begin{vmatrix}
     A_1 &     &       & O   \\
         & A_2 &       &     \\
         &     &\ddots &     \\
     O   &     &       & A_s \\
     \end{vmatrix}
$$
其中A_i都是方阵。

性质:$|A|=\prod |A_i|$

$$
A=\begin{vmatrix}
     A_1 &     &       & O   \\
         & A_2 &       &     \\
         &     &\ddots &     \\
     O   &     &       & A_s \\
     \end{vmatrix},
A^{-1}=\begin{vmatrix}
     A_1^{-1} &     &       & O   \\
         & A_2^{-1} &       &     \\
         &     &\ddots &     \\
     O   &     &       & A_s^{-1} \\
      \end{vmatrix}
$$

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线性代数数学
最后由DQS修改于2017-08-31 23:35
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